今日のTLT学習 乗法公式（中３数学）
問題
いろいろな式の展開です｡次の式を展開しなさい
- \((x-2)(x-6)\)
- \((2x+3y)^2\)
- \((5a+2b)(5a-2b)\)
- \((3x-2)(3x+3)\)
- \((x+3)(2x-3)\)
- \((2x-3a)^2\)
- \((x+3)(2x-3)\)
- \((2x-y)(x-2y)\)
- \((2x+3y)(2x-3y)\)
- \((4a-3b)^2\)
- \((8x-1)(8x+2)\)
- \((3x-2)(2x-3)\)
- \((x-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4})(x-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4})\)
- \((-4x+2b)(-4x-2b)\)
- \((-2x+5y)^2\)
- \((1.2x+3)(1.2x-3)\)
- \((-a-3b)^2\)
- \((\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}-x)(\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}+x)\)
- \((4x+y)(x-4y)\)
- \((2a-x)(x-2a)\)
- \((3x-1)^2\)
- \((10x+1)(10x-1)\)
- \((5x+6)(5x-3)\)
- \((2a+b)(3a+2b)\)
解答
- \((x-2)(x-6)=x^2-8x+12\)
- \((2x+3y)^2=4x^2+12xy+9y^2\)
- \((5a+2b)(5a-2b)=25a^2-4b^2\)
- \((3x-2)(3x+3)=9x^2+3x-6\)
- \((x+3)(2x-3)=2x^2+3x-9\)
- \((2x-3a)^2=4x^2-12ax+9a^2\)
- \((x+3)(2x-3)\)
\(=2x^2-3x+6x-9\)
\(=2x^2+3x-9\)
※乗法公式が使えないので,1つ1つかけていこう｡同類項をまとめるのを忘れないようにね｡こういう問題で,公式を使おうと悩んでいたら時間がなくなった,ということがある｡しかし,そのまま計算すると間違えやすい｡どこまで悩み,どこであきらめて展開するかが君の腕の見せ所なんだ｡
問題をたくさんやって,どういう問題はどう解くか,をつかんでおこう｡ - \((2x-y)(x-2y)\)
\(=2x^2-4xy-xy+2y^2\)
\(=2x^2-5xy+2y^2\) - \((2x+3y)(2x-3y)\)
\(=4x^2-9y^2\) - \((4a-3b)^2\)
\(=16a^2-24ab+9b^2\) - \((8x-1)(8x+2)\)
\(=64x^2+8x-2\) - \((3x-2)(2x-3)\)
\(=6x^2-9x-4x+6\)
\(=6x^2-13x+6\)
※｢次の式を展開しなさい｣で,公式が使えない場合の代表パターンがこれだ｡ふつうに分配法則で展開しよう｡ - \((x-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4})(x-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4})\)
\(=x^2-x+\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 16}\)
\(xの項は(-\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle 4}-\frac{\displaystyle 3}{\displaystyle 4})x=-\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 4}x=-x\) - \((-4x+2b)(-4x-2b)\)
\(={-(4x-2b)}{-(4x+2b)}\)
\(=(4x-2b)(4x+2b)\)
\(=16x^2-4b^2\) - \((-2x+5y)^2\)
\(={-(2x-5y)}^2\)
\(=(2x-5y)^2\)
\(=(2x)^2-2×2x×5y+(5y)^2\)
\(=4x^2-20xy+25y^2\) - \(1.2xをa,3をbとみると(a+b)(a-b)=a^2-b^2となる｡\)
\((1.2x+3)(1.2x-3)\)
\(=(1.2x)^2-3^2\)
\(=1.44x^2-9\)
※小数なんてめったに出てこないけどね｡こういう計算方法は同じ,ということだ｡ - \((-a-3b)^2\)
\(={-(a+3b)}^2\)
\(=(a+3b)^2\)
\(=a^2+6ab+9b^2\) - \((\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}-x)(\frac{\displaystyle 2}{\displaystyle 5}+x)\)
\(=\frac{\displaystyle 4}{\displaystyle 25}-x^2\) - 乗法公式が使えないので,分配法則の利用だ｡
\((4x+y)(x-4y)\)
\(=4x^2-16xy+xy-4y^2\)
\(=4x^2-15xy-4y^2\) - \((2a-x)(x-2a)={-(x-2a)}(x-2a)\)
\(=-(x-2a)^2\)
面倒なら,そのまま展開してもいい｡正解が出せるはずだ｡ - \((3x-1)^2\)
\(=9x^2-6x+1\) - \((10x+1)(10x-1)\)
\(=100x^2-1\) - \((5x+6)(5x-3)\)
\(=(5x)^2+(6-3)×5x+6×(-3)\)
\(=25x^2+15x-18\) - 乗法公式が使えないので,分配法則の利用だ｡
\((2a+b)(3a+2b)\)
\(=6a^2+4ab+3ab+2b^2\)
\(=6a^2+7ab+2b^2\)
解説
\(乗法公式は,次の4つだね｡\)
\(①(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)
\(②(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(平方公式)\)
\(③(a-b)^2=a^2-2ab+b^2(平方公式)\)
\(④(a+b)(a-b)=a^2-b^2(和と差の積)\)
\(4つのうち,どの公式を使えばよいかを考えて,式を展開すればいい｡\)
\(乗法公式があてはまらないものは,分配法則でかっこをはずせばいいね｡\)
\(（例）ひっかけ問題\)
\(①(x-a)(-a+x)=x^2-2ax+a^2\)
\(~~~x^2-a^2ではなく,単に(x-a)^2だ｡\)
\(②(2x-y)(x-2y)=2x^2-5xy+2y^2\)
\(~~~公式が使えそうだが,ふつうに展開するしかない｡\)
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当記事は、ＴＬＴソフトに収録されている問題、解説の一部を加工し掲載したものです。
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